|Ψ>

Najwyższa pora na jubileuszową, dwusetną notkę. W zorganizowanej kilka tygodni temu ankiecie okazało się, że najchętniej poczytalibyście o mechanice kwantowej. Przyznam, że taki wynik plebiscytu nieco mnie zdziwił. Najwyraźniej, zajmując się całkiem intensywnie tym działem nauki od dwóch lat w ramach swojego magisterium, zapomniałem, że „tajemnicze” zjawiska kwantowe budzą żywe zainteresowanie wśród laików. Przejdźmy zatem niezwłocznie do rzeczy… ale miejcie na uwadze, że wpis, choć zupełnie nietechniczny, jest bardzo długi, bo o mechanice kwantowej mówić krótko i zwięźle się nie da. Potraktujcie więc poniższy wywód jako artykuł popularnonaukowy i zabierzcie się za lekturę tylko pod warunkiem posiadania przysłowiowej wolnej chwili.

Popularne wprowadzenie do mechaniki kwantowej powinno zaczynać się od przedstawienia historycznej genezy teorii. Okoliczności jej powstania składają się bowiem na niezwykle zajmującą opowieść, w której nie brak wybitnych nazwisk, zażartych sporów i przełomowych koncepcji. (Nie)stety, gdybym choć pobieżnie chciał omówić tu historię powstania fizyki kwantowej, skończyłoby się na osobnej notce. Ograniczę się zatem tylko do niezbędnego minimum: Za symboliczną datę narodzin teorii zwykło przyjmować się 14 grudnia 1901, kiedy to Max Planck w swoim odczycie dla Niemieckiego Towarzystwa Naukowego postulował istnienie kwantów energii. Do ich odkrycia doprowadziły go badania nad tzw. promieniowaniem ciała doskonale czarnego¹. Dalszy rozwój prawideł mechaniki kwantowej motywowała konieczność udoskonalenia istniejącego modelu atomowego. Struktura nowej gałęzi fizyki krzepła przez mniej więcej 30 lat². Gdy w 1930 r. ukazał się kanoniczny podręcznik Paula Diraca pt. Principles of Quantum Mechanics, „kwantówka” była już w pełni ukształtowaną teorią.

Źródłem wszystkich niezwykłości w mechanice kwantowej jest sposób, w jaki teoria ta opisuje stany systemów fizycznych. Rozważmy najprostszą sytuację: w pustej przestrzeni porusza się oto materialna cząsteczka, na którą nie oddziałują żadne siły. Według fizyki klasycznej stan cząstki w dowolnej chwili określa sześć liczb — trzy koordynaty przestrzenne precyzujące jej położenie i trzy składowe wektora pędu opisujące jej prędkość (oraz masę). Chcąc przewidzieć dalszy ruch cząsteczki, należy sięgnąć po słynne prawa Newtona kodyfikujące jej ruch „po wsze czasy”. Akurat w powyższej sytuacji żadnych sensacyjnych rezultatów się nie doliczymy, bo cząsteczka, dopóty nie natknie się na inne cząstki i nie padnie ofiarą oddziaływań elektromagnetycznych i grawitacyjnych, dopóki będzie poruszać się ruchem jednostajnie prostoliniowym. W ujęciu fizyki klasycznej powyższe podejście stosuje się jednak do wszystkich systemów, także tych o nieporównywalnie większym stopniu skomplikowania — kluczem do całkowitej wiedzy o systemie jest więc zawsze położenie i pęd każdego z jego elementów, a rolę zamku pełnią prawa Newtona³.

Metoda stosowana przez mechanikę kwantową wygląda zupełnie inaczej, gdyż tutaj położenie i pęd odgrywają drugorzędne znaczenie. Tym razem stan fizyczny opisywany jest przez kwantowy wektor stanu oznaczany zazwyczaj jako |Ψ>. Kwantowy wektor stanu to obiekt matematyczny zamieszkujący tzw. przestrzeń Hilberta. Jak sugeruje sama nazwa, jest tworem wysoce abstrakcyjnym, więc nie będziemy nawet starali się „przetłumaczyć” jego istoty na codzienny język. Liczy się bowiem to, że — w założeniu — kwantowy wektor stanu zawiera w sobie kompletną informację o opisywanym stanie fizycznym. Wszystkie właściwości stanu, o jakie jest sens pytać, są zawarte w obiekcie oznaczonym przez niepozorny symbol |Ψ>.

Brzmi nieźle. Niestety, natychmiast pojawia się pierwsza implikacja poważnie kłócąca się ze zdrowym rozsądkiem. Załóżmy, że opisujemy w sposób kwantowomechaniczny system składający się z cząstki uwięzionej między nieskończonymi potencjałami (czyli, po ludzku mówiąc, mowa o cząstce zamkniętej „na amen” w jakimś pojemniku) i że z kwantowego wektora stanu chcemy uzyskać informację dotyczącą położenia cząstki w danej chwili. Niestety, nie da się. Najlepsze, co można zrobić, to przekształcić wektor stanu w

funkcję falową,

która opisuje prawdopodobieństwo, z jakim cząstka może znajdować się w danym regionie systemu. Podkreślmy: „może znajdować się”, a nie „znajduje się”. To pozornie banalne rozróżnienie odgrywa tu wysoce niebanalną rolę. Zgodnie ze standardową interpretacją⁴ mechaniki kwantowej, cząstka znajduje się bowiem nigdzie i wszędzie jednocześnie — chociaż w niektórych miejscach jest „bardziej”, a w innych „mniej”. Prawdopodobieństwo, o jakim była mowa cztery zdania wcześniej, nie wynika z naszej niewiedzy, lecz z wewnętrznej nieokreśloności systemu kwantowego. Cząstka jest „rozmazana” po całym systemie; pytanie o jej położenie w klasycznym sensie tego słowa to jak pytanie, co wydarzyło się trzydziestego pierwszego kwietnia.

Niektórzy z Was powinni w tym momencie nabrać podejrzeń. „Jak to?”, zapytacie. „Jak to ‚rozmazana’? Przecież jeżeli wykona się pomiar, to stwierdzimy, że cząstka znajduje się w jakimś konkretnym miejscu. W praktyce żaden pomiar nie jest co prawda doskonały, więc położenia nie ustalimy z nieskończenie wysoką precyzją, ale obszar poszukiwań da się zawęzić do bardzo małego wycinka przestrzeni. O żadnym ‚rozmazaniu’ nie może być więc mowy”.

Tak, owszem. Nie wolno jednak zapominać o założeniu, na którym spoczywa powyższe rozumowanie: „jeżeli wykona się pomiar”. Według mechaniki kwantowej sytuacja przedstawia się bowiem tak, że dopóty pomiaru nie wykonamy, dopóki cząstka będzie znajdowała się wszędzie. Natomiast w momencie wykonania pomiaru nastąpi kolaps funkcji falowej i położenie cząstki zredukuje się do „bardzo małego wycinka przestrzeni” (którego wielkość określona jest przez niedokładność pomiaru). Do którego dokładnie? O tym teoria nie mówi. Dysponujemy wyłącznie rozkładem prawdopodobieństwa — kolaps ma charakter nie deterministyczny, lecz probabilistyczny.

Właśnie tutaj pojawia się ów słynny element losowy, z którego mechanika kwantowa słynie i który tak bardzo nie podobał się Einsteinowi, że sprzeciwił mu się w liście do swego przyjaciela Maxa Borna słynnym zdaniem „Bóg nie gra w kości” (nie wszyscy wiedzą jednak, co Einsteinowi odpowiedział jego korespondent: „A jednak to nie my będziemy mówić Mu, jak kierować światem”). Rola probabilistyki w mikroskopijnym świecie jest jednak zazwyczaj przeceniana, bo w pewnym sensie teoria ta jest także całkowicie deterministyczna. Załóżmy, że znamy kwantowy wektor stanu w pewnej chwili i chcemy dowiedzieć się, w jaki sposób będzie on ewoluował z czasem. Odpowiedzi dostarcza nam słynne

równanie Schrödingera,

które pozwolę sobie przytoczyć w całości⁵:

Wygląda groźnie? Wcale nie. Przede wszystkim po obu stronach widzimy symbol |Ψ>, który, jak już wiemy, oznacza kwantowy wektor stanu (tym razem |Ψ>(r, t) zamiast samego |Ψ> — bo teraz traktujemy wektor stanu jako coś zależnego od położenia w przestrzeni r i czasu t). Po lewej stronie występuje on w połączeniu z operatorem różniczkowym ∂/∂t — (∂/∂t)|Ψ>(r, t) oznacza „sposób, w jaki kwantowy wektor stanu zmienia się czasem”. Po prawej stronie oddziałuje na niego operator H z daszkiem reprezentujący energię. Natomiast i i przekreślone h to, odpowiednio, liczba wyimaginowana (czyli taka, której kwadrat równa się -1) i stała Plancka podzielona przez 2π. Równanie Schrödingera mówi nam zatem, że ewolucja stanu kwantowego określona jest przez jego zawartość energetyczną.

Równanie Schrödingera jest całkowicie deterministyczne: znając wektor stanu w danej chwili, możemy wyliczyć, jak będzie wyglądał w dowolnej chwili w przyszłości. Warunek: W międzyczasie nie wolno wykonywać żadnych pomiarów. Jeżeli spróbujemy zmierzyć dowolną wielkość fizyczną związaną z systemem, to deterministyczna ewolucja się załamie i wektor stanu gwałtownie się zmieni. Zmiana ta będzie z jednej strony określona przez charakter naszego pomiaru, ale z drugiej — przez probabilistyczne prawidła rządzące teorią. Nieprzewidywalność jest wbudowana „na stałe” w mechanikę kwantową i nie wynika ani z niedoskonałości naszych pomiarów, ani z braku pełnej wiedzy na temat systemu. A co wydarzy się potem, czyli po pomiarze? Nic szczególnego — skolapsowany wektor podejmie swoją deterministyczną, zgodną z równaniem Schrödingera ewolucję… oczywiście dopóki nie wykonamy kolejnego pomiaru.

Jeżeli zapytacie teraz, jak właściwie definiowany jest pomiar, będzie to niezwykle wnikliwe pytanie… na które niestety nie ma odpowiedzi, chociaż poszukuje się jej dość intensywnie od kilkudziesięciu lat (tzw. problem pomiaru). Mechanika kwantowa nie odpowiada na pytanie, co już jest pomiarem, a co jeszcze nim nie jest. Dawniej uważano, że w jakiś tajemniczy sposób niebagatelną rolę odgrywa tu świadomość inteligentnego obserwatora; że kolaps funkcji falowej powodowany jest ingerencją jakiegoś wścibskiego człowieka (albo Obcego, albo półinteligentnego szympansa), który poprzez obserwację pozyskuje wiedzę na temat systemu. Jeśli uważacie, że takie podejście wydaje się zbyt metafizyczne i niczego nie wyjaśnia (bo jak zdefiniować „świadomego inteligentnego obserwatora”?) będziecie mieli rację. Problematyczność kwestii doskonale ilustruje słynny

paradoks kota Schrödingera:

Mamy kota zamkniętego w pojemniku. Wewnątrz pojemnika znajduje się też mechanizm zdolny do szybkiego i bezbolesnego uśmiercenia futrzaka, np. poprzez stłuczenie fiolki z trującym gazem. Zapalnikiem jest niestabilny atom — aktywacja mechanizmu nastąpi w momencie jego rozpadu. Rzecz w tym, że, zgodnie z mechaniką kwantową, tak długo jak nie wykona się pomiaru, atom będzie znajdował się w superpozycji „rozpadnięty”-„nierozpadnięty”. Czy oznacza to, że dopóki ktoś nie zajrzy do pojemnika, dopóki kot również będzie znajdował się w superpozycji „martwy”-„żywy”? Ale dlaczego zwierzak nie liczy się jako obserwator? Kto jak kto, ale on powinien akurat wiedzieć, czy jeszcze żyje, czy już umarł… A jeżeli kota zastąpimy dużo prostszym organizmem, na przykład amebą? A jeśli ktoś zajrzy do pojemnika, ale nie powie od razu pozostałym, co zobaczył — czy on również będzie przez pewien czas „zsuperpozycjonowany” (tzw. paradoks przyjaciela Wignera)?

Podobne pytania można mnożyć długo. Nieszczęsny kot Schrödingera udowadnia, że angażowanie w sytuację pojęcia „świadomego obserwatora” niczego nie rozwiązuje. Dlatego właśnie współcześni fizycy są bardziej prozaiczni od swoich poprzedników i skłaniają się raczej ku twierdzeniu, że o kolapsie funkcji falowej decyduje interakcja systemu z otoczeniem; że pomiar należy definiować właśnie jako taką interakcję. Ale i tu natychmiast pojawiają się zasadnicze pytania (na które nikt na razie nie zna odpowiedzi): Co jest otoczeniem? Kiedy otoczenie wchodzi w skład systemu kwantowego, a kiedy należy je traktować jako „coś osobnego”? Wreszcie: Gdzie dokładnie biegnie granica między światem kwantowym a światem makrofizycznym? Pytania te składają się na tzw. problem dekoherencji, który po prostu problem pomiaru zastępuje.

Istnieje również pogląd, według którego równanie Schrödingera jest tylko przybliżeniem jakiegoś ogólniejszego (i nieliniowego, a więc (dużo) bardziej skomplikowanego) równania, i że gdyby udało się je sformułować, okazałoby się, że nie taka mechanika kwantowa straszna, jak ją malują. Owo „wymarzone” równanie wyjaśniłoby dokładnie proces kolapsu funkcji falowej i za jednym zamachem zniwelowałoby problem pomiaru i dekoherencji oraz usunęło wszelkie elementy probabilistyczne z teorii zastępując je starym dobrym determinizmem. Wbrew pozorom, uogólnienie równania Schrödingera nie jest trudne z punktu widzenia matematycznego. Problem polega na tym, że dokonać go można na wiele różnych sposobów i nikomu jak dotąd nie udało się znaleźć tego właściwego (z fizycznego punktu widzenia).

Utnijmy wywód związany z równaniem Schrödingera i jego związkiem (lub, jak na razie, brakiem związku) z pomiarami i powróćmy do zagadnienia superpozycji właściwości stanu kwantowego. Wcześniej za przykład posłużyło nam położenie cząstki, ale nie podkreśliliśmy, że w mechanice kwantowej przestrzenna lokalizacja nie jest bynajmniej uprzywilejowanym pojęciem. W teorii panuje równouprawnienie między położeniem i pędem, jako że funkcję falową związaną z tym pierwszym można za pomocą pewnej matematycznej operacji (transformacji Fouriera) przekształcać bez trudu w funkcję falową „rozpisaną” na pęd.

Położenie i pęd zajmują jednak szczególną rolę w opisie kwantowym, ponieważ mają charakter ciągły. Innymi słowy, cząsteczka może znajdować się w punkcie x, ale może też znajdować się w punkcie x+s, gdzie s jest dowolnie małą liczbą różną od zera. To samo tyczy się pędu… ale wielu innych wielkości już niekoniecznie. Zazwyczaj są one

skwantowane,

czyli przybierają oddzielne (dyskretne) wartości. Sztandarowym przykładem takiego zachowania jest energia. W mechanice kwantowej często rozpatruje się sytuacje, w których system może znajdować się w pewnym konkretnym stanie energetycznym, ale nie „pomiędzy” nimi. Jak już wiemy, przed pomiarem system będzie przebywał we wszystkich tych stanach energetycznych jednocześnie i dopiero w momencie wykonania pomiaru skolapsuje do jednego z nich. Ale teraz nie kolaps jest akurat najważniejszy, ale fakt, że pomiar wykaże, iż system posiada energię taką, taką albo taką — ale żadną inną. Energia została skwantowana⁶.

Warto zerknąć na matematyczne tło owego kwantowania. Wspomnieliśmy wcześniej, że kwantowe wektory stanu zamieszkują przestrzeń matematyczną zwaną przestrzenią Hilberta. Ich sąsiadami w tej przestrzeni są tzw. operatory. Jak sugeruje nazwa, zadaniem operatorów jest oddziaływanie na wektory stanu i przekształcanie ich w inne wektory. Istnieje klasa operatorów, która wyróżnia się pewną matematyczną cechą zwaną sprzężeniem. Zgodnie z podstawowymi zasadami mechaniki kwantowej, każdy taki operator należy przypisać do jakiegoś obserwabla, czyli obserwowalnej wielkości fizycznej. Albo odwrotnie: Każdy obserwabel jest unikalnie reprezentowany przez jakiś sprzężony operator (synonimem określenia „sprzężony operator” jest „operator hermitowski”).

Co to ma wspólnego z kwantowaniem? Bardzo dużo. Każdy operator charakteryzuje ciąg liczb zwanych wartościami własnymi operatora. W przypadku operatorów hermitowskich, a więc tych fizycznych, znaczenie wartości własne jest fundamentalne: stanowią one możliwe wyniki pomiaru obserwabla, do którego dany operator został przypisany. Przykład: Energię systemu reprezentuje operator E, który posiada dwie wartości własne; oznaczmy je jako E₁ i E₂. Jeśli spróbujemy teraz zmierzyć energię (i jeśli pomiar będzie wykonany w sposób poprawny), odkryjemy, że wynosi ona albo E₁, albo E₂. Żadna inna wartość nie wchodzi w grę.

Niestety, nie wszystkie operatory się ze sobą lubią. „Nielubienie” oznacza w tym wypadku, że pomnożenie⁷ operatora A przez operator B da inny wynik niż pomnożenie B przez A. W przypadku operatorów hermitowskich ma to drastyczne implikacje dla fizycznej rzeczywistości: nie można zmierzyć jednocześnie (z dowolnie wysoką dokładnością) dwóch obserwabli, których operatory są ze sobą „skłócone”. Mówimy wtedy o

niekomutujących obserwablach.

Najsłynniejszą parą takowych jest położenie i pęd. Mierząc położenie zakłócamy pęd; z im większą dokładnością wykonujemy pomiar położenia jakiejś cząsteczki, tym bardziej zmieniamy jej pęd. I odwrotnie: Mierząc pęd, siłą rzeczy „przepychamy” cząsteczkę w inne miejsce przestrzeni. (Ściślej rzecz biorąc, należałoby powiedzieć, że kolapsując funkcję falową położenia, „rozmazujemy” funkcję falową pędu — i vice versa).

Niekomutującymi obserwablami zajmuje się słynna zasada nieoznaczoności Heisenberga, która głosi dokładnie to, o czym napisaliśmy już w poprzednim akapicie: według mechaniki kwantowej niektórych wielkości fizycznych nie da się zmierzyć jednocześnie (z dowolnie wysoką dokładnością) i nie wynika to z niedoskonałości naszych pomiarów, lecz z podstawowego prawa przyrody. W szerszym, filozoficznym ujęciu nieoznaczoność Heisenberga związana jest z zasadą komplementarności mówiącą, że niektóre właściwości i pojęcia fizyczne są ze sobą niekompatybilne i nie da się ich sprowadzić do pojedynczego aspektu rzeczywistości. Nie brzmi to może zbyt groźnie, dopóki nie uświadomimy sobie, że wzajemną niekompatybilnością odznaczają się dwa pojęcia o zupełnie fundamentalnym znaczeniu — położenie czasoprzestrzenne i związek przyczynowo-skutkowy. Dlaczego? Dlatego że położenie czasoprzestrzenne jest określane przez, cóż, przez położenie przestrzenne i czasowe, natomiast związki przyczynowo-skutkowe są determinowane przez prawa zachowania pędu i energii. Jak już wiemy, położenie przestrzenne i pęd stanowią parę niekomutujących obserwabli; w pewnym sensie niekomutującymi obserwablami są również czas i energia. Jeśli skupimy się w naszych obserwacjach na położeniu czasoprzestrzennym, związki kauzalne muszą usunąć się w cień; natomiat gdy pytamy o przyczynę i skutek, nie ma sensu pytać jednocześnie o umiejscowienie zjawisk w czasie i przestrzeni.

Tę nieco ponurą uwagą nasze popularnonaukowe wprowadzenie w mechanikę kwantową się zakończy. Liczę, że lektura, choć długa, okazała się poglądowa, interesująca i zrozumiała. Oczywiście, nie trzeba mówić, że o wielu rzeczach nie napisałem… ale warto wypunktować, o jakich dokładnie. W powyższym wywodzie nie znalazło się miejsca dla:

• …innych interpretacji fizyki kwantowej. Miejcie na uwadze, że ich celem jest nierzadko pozbycie się niepożądanych implikacji filozoficznych standardowej (kopenhaskiej) interpretacji (por. przypis 4). Powyższe wprowadzenie utrzymane jest jednak w kopenhaskim tonie.
• …opisania dualizmu korpuskularnego-falowego. Dualizm korpuskularno-falowy to zjawisko polegające na tym, że światło i materia w niektórych okolicznościach zachowuje się jak cząsteczki (korpuskuły), a w innych jak fale. Ich natura odznacza się więc komplementarnością. Notabene, właśnie dualizmowi poświęcona jest moja praca magisterska.
• …wyjaśnienia, czym jest splątanie kwantowe i paradoks EPR, jaki to ma związek z nielokalnością (czyli możliwością przekazywania sygnałów z szybkością większą od szybkości światła) i jak ogromny potencjał technologiczny może się w tym kryć.
• …głębokim konflikcie mechaniki kwantowej z ogólną teorią względności i poszukiwaniach kwantowej teorii grawitacji, Świętego Graala współczesnej fizyki.

Może innym razem?

---

¹ Pod tą nieco podejrzaną nazwą kryje się po prostu każde ciało, które w ogóle nie odbija padającego na nie promieniowania elektromagnetycznego (czyli zwykłego światła oraz całej reszty elektromagnetycznego spektrum). Ciało doskonale czarne to fizyczna idealizacja, podobnie jak ten koń z dowcipu, który ma kształt kuli i porusza się ruchem harmonijnym. W praktyce teoria ciała doskonale czarnego daje się na szczęście z powodzeniem stosować do „zwyczajnych” ciał, np. do Słońca. Fizycy wykorzystują ją do przewidywania, w jaki sposób rzeczone ciała będą reemitować uprzednio pochłonięte, lub nawet samodzielnie wytworzone, promieniowanie.

² Najbardziej skoncentrowane prace nad aparatem matematycznym nowej teorii przypadają jednak na drugą połowę lat dwudziestych.

³ Mówimy tutaj o mechanice, czyli gałęzi fizyki zajmującej się ruchem materii, lecz w ten sam schemat wpisuje się także klasyczny elektromagnetyzm. „Jedyna” różnica polega na tym, że rolę położenia i pędu przejmują wektory pola elektrycznego i pola magnetycznego, a rolę praw Newtona — równania Maxwella. Warto dodać, że synteza newtonowskiej mechaniki i maxwellianskiego elektromagnetyzmu nie nastręcza teoretycznych trudności, choć do pełnego zrozumienia pewnego szalenie istotnego niuansu związanego z prędkością światła niezbędna była szczególna teoria względności Einsteina ze wszystkimi jej implikacjami.

⁴ Standardową nie znaczy jedyną. Formalizm mechaniki kwantowej można interpretować na różne sposoby i niektóre z nich (w szczególności tzw. ontologiczna interpretacja Bohma) dopuszcza dużo bardziej zdroworozsądkowe podejście do zjawisk kwantowych. Standardowa interpretacja jest jednak… standardowa, chociaż niewykluczone, że zadecydowały o tym nie obiektywne walory, a ogromny autorytet Nielsa Bohra, jej zażartego obrońcy. Przegląd poszczególnych interpretacji formalizmu mechaniki kwantowej to doskonały temat na osobną notkę.

⁵ W lekko, ale tylko lekko, uproszczonej wersji.

⁶ W wielu sytuacjach energia może jednak przybierać ciągłe wartości. Z drugiej strony kwantyzacji ulegają również inne fizyczne wielkości. Najważniejsza z nich to tzw. spin, pewna mikroskopijna i szalenie istotna właściwość cząstek, którą od wielkiej biedy można porównać do sposobu, w jaki cząstki „wirują”. To porównanie jest jednak w gruncie rzeczy bardzo mylące, bo cząstki, jak twory zerowymiarowe, obracać się dookoła własnej osi po prostu nie mogą.

⁷ Operatory można bowiem przez siebie „mnożyć”, choć nie jest to zwykłe mnożenie arytmetyczne.

___________________
Autorką zdjęcia w nagłówku jest Federica Testani.